Matematyka w ruchu · Liceum · funkcja kwadratowa
Parabola: w którą stronę przesuwa się wierzchołek
Postać kanoniczna y = a(x − p)² + q od razu pokazuje wierzchołek W = (p; q). Sprawdź, w którą stronę przesuwa się wykres.
Wykres y = (x − 2)² jest przesunięty względem y = x² w prawo czy w lewo?
Liceum · funkcja kwadratowa
Porusz rysunek
y = a(x − p)² + q
Co sprawdzić
- Ustaw p = 2: przy „x − 2” wierzchołek przesuwa się w prawo, do x = 2.
- Zmieniaj q: wykres jedzie w górę i w dół.
- Zmień znak a: ramiona się odwracają, a wierzchołek staje się najwyższym punktem.
Wyjaśnienie
Wyrażenie (x − p)² ma najmniejszą wartość, równą 0, dla x = p. Dlatego wierzchołek leży w x = p – przy „x − 2” to x = 2, czyli w prawo, choć w zapisie jest minus.
q przesuwa cały wykres w pionie, a a decyduje o kierunku ramion i o tym, jak wąska jest parabola.
Miejsca zerowe istnieją tylko wtedy, gdy wierzchołek i ramiona leżą po przeciwnych stronach osi x.
Typowy błąd
Częsty błąd to pomyłka ze znakiem: „x − 2” odczytane jako przesunięcie w lewo albo zgubiony minus we wzorze p = −b/(2a).
Diagnoza rozpoznaje ten błąd w odpowiedziach jako: „Gubi minus we wzorze p = −b/(2a)”.
Co mówią badania
-
Badanie tego, jak uczniowie i studenci rozumieją przesuwanie wykresów funkcji – jakie przeszkody napotykają i jakie intuicje pomagają je obejść.
Zazkis, R., Liljedahl, P., Gadowsky, K. (2003). Conceptions of function translation: Obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22(4), 435–448. -
Autorzy przypominają, że wcześniejsze badania opisały trudności z poziomym przesuwaniem wykresu, i pokazują kolejne źródło: to, jak uczniowie rozumieją symbol x w zapisie wzoru po przesunięciu.
Yim, J., Lee, H. S. (2022). Students’ use of prior conceptions of symbols in finding an equation for a horizontal translation of the graph of a function. International Journal of Science and Mathematics Education, 20, 1699–1717. -
Przegląd strategii uczenia się. Przewidywanie wyniku przed sprawdzeniem okazało się skuteczne już u dzieci z młodszych klas szkoły podstawowej – dlatego każdy pokaz zaczyna się od pytania „Najpierw zgadnij”.
Brod, G. (2021). Generative learning: Which strategies for what age? Educational Psychology Review, 33(4), 1295–1318.