Matematyka w ruchu · Liceum · planimetria

Pole figury podobnej

Gdy powiększasz figurę 2 razy, jej pole rośnie 4 razy. Policz małe trójkąty w dużym.

Najpierw zgadnij

Trójkąt powiększono 3 razy. Ile razy większe jest jego pole?

Liceum · planimetria

Porusz rysunek

skala k → pole k²

skala2

Ustaw skalę 2 i policz małe trójkąty w dużym: są 4.
Ustaw skalę 3: mieści się ich 9, a nie 3.
Zastanów się: ile razy wzrośnie objętość sześcianu, gdy jego krawędź wydłużysz 2 razy?

Pole zależy od dwóch wymiarów naraz. Gdy oba rosną k razy, pole rośnie k · k = k² razy.

Obwód to długość, więc rośnie tylko k razy. Objętość bryły ma trzy wymiary i rośnie k³ razy.

Dlatego plan narysowany w skali dwa razy większej zajmuje cztery razy więcej papieru.

Typowy błąd

Typowy błąd: pomnożenie pola przez skalę zamiast przez jej kwadrat.

Diagnoza rozpoznaje ten błąd w odpowiedziach jako: „Mnoży pole przez skalę zamiast przez jej kwadrat”.

Badania z uczniami w wieku 12–13 i 15–16 lat nad „złudzeniem liniowości”: uczniowie stosują proporcję tam, gdzie nie działa – np. mnożą pole przez skalę. Podpowiedzi i rysunki pomagały tylko trochę; autorzy piszą, że to nawyk silny i odporny na zmianę. Wcześniejsze badanie tych autorów (1998) dotyczyło właśnie pól figur podobnych.
De Bock, D., Verschaffel, L., Janssens, D. (2002). The effects of different problem presentations and formulations on the illusion of linearity in secondary school students. Mathematical Thinking and Learning, 4(1), 65–89.
Przegląd strategii uczenia się. Przewidywanie wyniku przed sprawdzeniem okazało się skuteczne już u dzieci z młodszych klas szkoły podstawowej – dlatego każdy pokaz zaczyna się od pytania „Najpierw zgadnij”.
Brod, G. (2021). Generative learning: Which strategies for what age? Educational Psychology Review, 33(4), 1295–1318.