Matematyka w ruchu · Liceum · procenty i ciągi
Procent składany: dlaczego oszczędności przyspieszają
Przy procencie składanym odsetki zarabiają kolejne odsetki. Porównaj to z procentem prostym.
1000 zł na 5% rocznie przez 20 lat: będzie 2000 zł, mniej czy więcej?
Liceum · procenty i ciągi
Porusz rysunek
K · (1 + p)ⁿ
Co sprawdzić
- Ustaw 5% i 20 lat: procent prosty daje 2000 zł, składany ok. 2653 zł.
- Wydłużaj czas: różnica rośnie coraz szybciej.
- Sprawdź „regułę 72”: przy 6% kwota podwaja się mniej więcej co 12 lat.
Wyjaśnienie
Przy procencie prostym odsetki liczy się zawsze od wpłaconej kwoty, więc co roku przybywa tyle samo – wykres jest prostą.
Przy procencie składanym odsetki dolicza się do kapitału, więc w następnym roku procent liczy się od większej kwoty. Co roku kwotę mnoży się przez 1 + p/100 – to ciąg geometryczny.
Na początku obie linie biegną blisko siebie, ale po latach różnica robi się bardzo duża.
Typowy błąd
Częsty błąd: liczenie odsetek co roku od kwoty początkowej, czyli procentem prostym zamiast składanym.
Diagnoza rozpoznaje ten błąd w odpowiedziach jako: „Liczy odsetki tylko od kapitału początkowego (procent prosty zamiast składanego)”.
Co mówią badania
-
Badanie gospodarstw domowych: ludzie często oceniają wzrost wykładniczy tak, jakby był liniowy (exponential growth bias) – zaniżają przyszłą wartość oszczędności i oprocentowanie kredytu. Osoby z silniejszym błędem pożyczały więcej i oszczędzały mniej.
Stango, V., Zinman, J. (2009). Exponential growth bias and household finance. Journal of Finance, 64(6), 2807–2849. -
Przegląd strategii uczenia się. Przewidywanie wyniku przed sprawdzeniem okazało się skuteczne już u dzieci z młodszych klas szkoły podstawowej – dlatego każdy pokaz zaczyna się od pytania „Najpierw zgadnij”.
Brod, G. (2021). Generative learning: Which strategies for what age? Educational Psychology Review, 33(4), 1295–1318.